\documentclass[11pt,a4paper]{book}
%% Packages
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage{amsthm,enumerate}
%% teoremes
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Th}{Teorema}[section]
\newtheorem{Prop}[Th]{Proposici\'{o}}
\newtheorem{Cor}[Th]{Coro\l.lari}
\newtheorem{Lem}[Th]{Lema}
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Def}[Th]{Definici\'{o}}
\newtheorem{Ex}[Th]{Exemple}
\newtheorem{Rem}[Th]{Nota}
\newtheorem{Probl}{}[chapter]
%
\let\segondoublepage\cleardoublepage
\newcommand{\bondoublepage}{\clearpage{\pagestyle{empty}\segondoublepage}}
\let\cleardoublepage\bondoublepage 


\begin{document}

\chapter{Creences i consist\`{e}ncia}

L'objectiu d'aquest primer cap\'{\i}tol \'{e}s presentar de manera intu\"{\i}tiva
els dos temes centrals d'aquestes notes: la consist\`{e}ncia de creences i
la validesa d'un argument.  En aquest sentit, tot el que s'explica en
aquest cap\'{\i}tol s'ha de veure com una introducci\'{o} informal als
problemes que es tractaran als cap\'{\i}tols posteriors.

\section{Conjunts consistents de creences}
El concepte b\`{a}sic que s'entrecavalca en aquest llibre \'{e}s el de 
consist\`{e}ncia de creences, que tot seguit introdu\"{\i}m.  

\begin{Def}
Direm que un conjunt de creences \'{e}s \emph{consistent} quan totes poden
ser vertaderes al mateix temps en qualque situaci\'{o} possible.
\end{Def}

\'{E}s a dir, perqu\`{e} un conjunt de creences sigui consistent ha d'existir com 
a m\'{\i}nim una situaci\'{o} en qu\`{e} totes siguin vertaderes. 

\begin{Ex}
Les afirmacions 
\begin{quote} 
Avui plou a Palma\\ 
Ahir va nevar a Alc\'{u}dia\\ 
Avui fa vent a Ciutadella o hi plou
\end{quote}
formen un conjunt consistent, perqu\`{e} poden ser totes vertaderes en una 
mateixa situaci\'{o}. 
\end{Ex}



\section{Arguments}
Com ja hem dit, un dels objectius b\`{a}sics de la l\`{o}gica, m\'{e}s enll\`{a} de 
determinar la consist\`{e}ncia dels conjunts de creences, \'{e}s estudiar els 
mecanismes d'expansi\'{o} dels conjunts consistents. El m\`{e}tode 
natural per ampliar un conjunt consistent de creences \'{e}s servir-se
 del que anomenarem gen\`{e}ricament \emph{arguments}.

\begin{Def}
Un \emph{argument} \'{e}s un conjunt de creences, anomenades les
\emph{premisses}, m\'{e}s una nova creen\c{c}a que anomenam la
\emph{conclusi\'{o}}.
\end{Def}


\begin{Def}
Un argument \'{e}s \emph{v\`{a}lid}  quan no \'{e}s 
possible que, en qualque situaci\'{o}, totes les premisses siguin vertaderes i 
la conclusi\'{o} sigui falsa. 
\end{Def}


\begin{Prop}
Un argument no \'{e}s v\`{a}lid quan i nom\'{e}s quan el conjunt de creences
format per les premisses i la negaci\'{o} de la conclusi\'{o} \'{e}s consistent.
\end{Prop}

\begin{proof}
Un argument {no \'{e}s v\`{a}lid} quan existeix qualque situaci\'{o} en la qual
les premisses s\'{o}n totes vertaderes per\`{o} la conclusi\'{o} \'{e}s falsa.  Podem
tornar a formular aquest caracteritzaci\'{o} dient que un argument {no \'{e}s
v\`{a}lid} quan existeix qualque situaci\'{o} en la qual les premisses i la
negaci\'{o} de la conclusi\'{o} s\'{o}n vertaderes.
\end{proof}


\begin{Cor}
Qualsevol argument la conclusi\'{o} del qual sigui una creen\c{c}a que 
sempre sigui vertadera, \'{e}s v\`{a}lid.  Dit en termes de conseq\"{u}\`{e}ncia l\`{o}gica, 
una creen\c{c}a que sempre sigui vertadera \'{e}s conseq\"{u}\`{e}ncia l\`{o}gica de qualsevol 
conjunt de creences.
\end{Cor}



\begin{Cor}
Qualsevol argument amb un conjunt inconsistent de premisses \'{e}s 
v\`{a}lid.  \'{E}s a dir, tota creen\c{c}a \'{e}s conseq\"{u}\`{e}ncia l\`{o}gica d'un conjunt 
inconsistent de creences.
\end{Cor}

\begin{proof}
Obvi.
\end{proof}


\section*{Exercicis}

\begin{Probl}
Digau si els  conjunts de creences seg\"{u}ents s\'{o}n consistents.
\begin{enumerate}[(a)]
\item En Joan o en Miquel viuen a Felanitx.  En Joan no viu a
Felanitx.  

\item En Joan o en Miquel viuen a Felanitx.  En Joan i en
Miquel viuen a Felanitx.  

\item En Joan i en Miquel viuen a Felanitx.
Si en Joan viu a Felanitx, aleshores en Miquel no viu a Felanitx.

\item En Joan o en Miquel viuen a Felanitx.  Si en Joan viu a
Felanitx, aleshores en Miquel no viu a Felanitx.
\end{enumerate}
\end{Probl}

\begin{Probl}  Donau una creen\c{c}a tal que el conjunt de creences format per 
aquesta creen\c{c}a tota sola sigui consistent.
Aix\'{\i} mateix, donau una creen\c{c}a tal que el conjunt de creences format per 
aquesta creen\c{c}a tota sola  sigui inconsistent.
\end{Probl}

\begin{Probl}
Digau quins dels   arguments seg\"{u}ents s\'{o}n v\`{a}lids, i d'entre 
aquests darrers, quins s\'{o}n s\`{o}lids.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Avui plou.  {Per conseg\"{u}ent:} Em dic Joan.

\item Avui plou.  {Per conseg\"{u}ent:} Avui plou.

\item Vindr\'{e} a sopar o a prendre una copa.  No vindr\'{e} a sopar.  No
vindr\'{e} a prendre una copa.  {Per conseg\"{u}ent:} Vindr\'{e} a prendre una
copa.
\end{enumerate}
\end{Probl}

\chapter{La representaci\'{o} de les  creences}


En aquest cap\'{\i}tol recorrem el cam\'{\i} que duu de les creences a la seva 
representaci\'{o} mitjan\c{c}ant qualque mena d'objectes susceptibles de 
ser manipulats (fins a un cert punt) amb les eines de la l\`{o}gica b\`{a}sica.


\section{Frases declaratives}

\begin{Def}
Una \emph{frase declarativa} \'{e}s una frase (escrita), ben formada
gramaticalment i que expressa directament una creen\c{c}a.
\end{Def}


\begin{Rem}
No ens entretindrem m\'{e}s en aquest tema, perqu\`{e} entenem que tothom t\'{e} clar 
el que \'{e}s una frase declarativa (o alternativament,  una oraci\'{o} que no 
\'{e}s interrogativa ni imperativa). 
\end{Rem}

\section{Proposicions}
De la discussi\'{o} portada a terme a les seccions anteriors n'haur\'{\i}em 
d'haver tret la conclusi\'{o} que les frases declaratives, com a simples 
seq\"{u}\`{e}ncies de paraules i signes de puntuaci\'{o}, no serveixen per 
representar les creences amb la finesa adient perqu\`{e}, tot manipulant-les,
 puguem deduir coses relacionades amb la veritat o falsedat de les 
creences que representen.  Les mancances de les frases declaratives es 
donen, per un costat, perq

\begin{Def}
Una \emph{proposici\'{o}} \'{e}s una frase declarativa que t\'{e} un \'{u}nic
significat possible, per al qual disposam de qualque criteri extern
que ens diu si \'{e}s vertader o fals (per\`{o} no totes dues coses
simult\`{a}niament).
\end{Def}

\begin{Ex}
``Avui plou'' \'{e}s una proposici\'{o}.
\end{Ex}

 
\begin{Def}
Un conjunt de proposicions \'{e}s \emph{consistent}  quan existeix qualque situaci\'{o} en qu\`{e} 
totes aquestes proposicions s\'{o}n vertaderes (per un mateix criteri 
admissible). 
\end{Def}



\section*{Exercicis}

\begin{Probl}
Digau quines de les  construccions seg\"{u}ents s\'{o}n frases 
declaratives. 
\begin{enumerate}[(a)]
\item  Les plantes verdes.
\item  Dos per dos fan quatre.
\item   Contestau aquesta pregunta, per favor.
\item   Estic trist com un taronger ensagnat en vasta ombra. 
\end{enumerate}
\end{Probl}

\begin{Probl}
Suposau que en Miquel ha dit ``Avui plou''.
\begin{enumerate}[(i)]
\item El que ha dit en Miquel \'{e}s una frase declarativa?

\item ``El que  ha dit en Miquel'' \'{e}s una frase declarativa? 

\item ``El que ha dit en Miquel \'{e}s cert'' \'{e}s una frase declarativa? 

\item  ``El que ha dit en Miquel \'{e}s una frase declarativa?'' \'{e}s
una frase declarativa?

\item ``Suposau que en Miquel ha dit `Avui plou'$\,$'' \'{e}s una frase 
declarativa?
\end{enumerate}
\end{Probl}


\chapter{L'an\`{a}lisi funcional}

Dedicam aquest cap\'{\i}tol exclusivament a aquest c\`{a}lcul dels valors de 
veritat de formes proposicionals.  Aquesta ser\`{a} l'eina definitiva que, 
juntament amb la simbolitzaci\'{o}, ens permetr\`{a}, al proper cap\'{\i}tol, 
automatitzar l'estudi de la consist\`{e}ncia de conjunts de proposicions i de 
la validesa d'arguments.


 
\section{Taules de veritat de les formes proposicionals}

Una de les maneres usuals que tenim en matem\`{a}tiques de 
presentar les funcions \'{e}s per mitj\`{a} de taules.

\begin{Ex}
La taula de veritat de la forma proposicional 
$p\to((\neg q)\to r)$ \'{e}s
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
$p$ & $q$ & $r$ & $(\neg q)$ & $((\neg q)\to r)$ & $p\to ((\neg q)\to r)$ \\ \hline
1		& 1 &	1	& 0	&	1	&	        1 \\
1		&	1	&	0	&	0	& 1     &1 \\
1		&	0	&	1	& 1	&1	&1 \\ 
1		&	0	&	0	& 1	&0	&0 \\ 
0		& 1 &	1	& 0	&	1	&	        1 \\
0		&	1	&	0	&	0	& 1     &1 \\
0		&	0	&	1	& 1	&1	&1 \\ 
0		&	0	&	0	& 1	&0	&1 
\end{tabular}
\end{center}
\end{Ex}

\begin{Def} 
Una forma proposicional \'{e}s una \emph{tautologia} quan el seu valor de
veritat funcional en qualsevol situaci\'{o} \'{e}s 1.  \'{E}s a dir, quan a la
seva taula de veritat la seva columna \'{e}s formada tota d'uns.
\end{Def}

\begin{Ex}
Les formes proposicionals seg\"{u}ents s\'{o}n tautologies:
\begin{itemize}
\item $p\to p$ 
\item $p\leftrightarrow p$ 
\item $p\vee (\neg p)$ 
\end{itemize}
\end{Ex}



\begin{Prop}
Si aplicam una tautologia a unes proposicions donades, 
obtenim sempre una proposici\'{o} vertadera, independentment del valor de 
veritat de les proposicions a les quals l'aplicam.
Rec\'{\i}procament, una forma proposicional tal que sempre que l'aplicam a 
proposicions d\'{o}na una proposici\'{o} vertadera, \'{e}s una tautologia.
\end{Prop}

\begin{proof}
En efecte, ja hem vist que si aplicam una tautologia a unes proposicions 
obtenim una proposici\'{o} vertadera.  Rec\'{\i}procament, si una forma 
proposicional no \'{e}s una tautologia, aleshores en qualque situaci\'{o} 
funcional tindr\`{a} valor de veritat funcional 0, i aleshores, si aplicam 
aquesta forma proposicional a unes proposicions amb valors de veritat 
els corresponents a aquesta situaci\'{o} funcional, obtindrem una 
proposici\'{o} composta falsa.  Per tant, si tenim una forma proposicional 
tal que sempre que l'apliquem obtinguem una proposici\'{o} vertadera, 
podem afirmar que \'{e}s una tautologia (perqu\`{e} si no \'{e}s una tautologia, de 
vegades d\'{o}na una proposici\'{o} falsa, com acabam de veure).
\end{proof}

Les tautologies tene la propietat fonamental seg\"{u}ent.

\begin{Th}
Si en una tautologia substitu\"{\i}m totes les aparicions d'una variable
proposicional per una mateixa forma proposicional qualsevol, obtenim
una tautologia.
\end{Th}

\begin{proof}
Sigui $A$ una tautologia amb variables proposicionals
$p_1,\ldots,p_n$, i suposem que substitu\"{\i}m $p_1$ per la forma
proposicional $A_1$, de manera que obtenim (per la propietat 3.1) una
nova forma proposicional $B$ (possiblement amb noves variables
proposicionals).  Si ara aplicam aquesta nova forma $B$ a unes
proposicions, el resultat ser\`{a} el mateix que si primer aplicam la
forma ${A}_1$ a aquestes proposicions i despr\'{e}s hi aplicam $A$
substituint per $p_1$ la proposici\'{o} aix\'{\i} obtinguda, i per $p_2,\ldots,
p_n$ les que les pertoquin d'entrada.  Per\`{o} aleshores, com que sempre
que aplicam $A$ obtenim una proposici\'{o} vertadera, perqu\`{e} $A$ \'{e}s una
tautologia, resulta que en aquest cas tamb\'{e} obtenim una proposici\'{o}
vertadera.  \'{E}s a dir, que si aplicam $B$ a qualssevol proposicions, el
resultat \'{e}s una proposici\'{o} que sempre \'{e}s vertadera, independentment
dels valors de veritat de les proposicions a les quals l'hem aplicat.
Aix\`{o} ens diu que $B$ \'{e}s una tautologia.
\end{proof}

\section*{Exercicis}

\begin{Probl}
Suposau que en Miquel ha anat al teatre, que s'ha menjat un entrep\`{a} i
que no ha vist na Joana (\'{e}s a dir, que les proposicions ``En Miquel ha
anat al teatre'' i ``En Miquel s'ha menjat un entrep\`{a}'' s\'{o}n
vertaderes, i la proposici\'{o} ``En Miquel ha vist na Joana'' \'{e}s falsa).

Digau si, en aquesta situaci\'{o}, les seg\"{u}ents proposicions s\'{o}n vertaderes o 
falses.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Si en Miquel ha anat al teatre, aleshores ha vist na Joana i ha
anat al teatre.

\item  Si en Miquel ha anat al teatre, aleshores ha vist na Joana o ha
anat al teatre.

\item  Si en Miquel no ha anat al teatre, aleshores ha vist na Joana o
no l'ha vista.
\end{enumerate}
\end{Probl}

\begin{Probl} Digau si les  formes proposicionals seg\"{u}ents s\'{o}n 
tautologie o no.
\begin{enumerate}[(a)]
\item   $p\to (\neg p)$
\item $(p\vee q)\to (q\vee p)$
\item  $(p\vee q)\to (q\wedge p)$
\item  $(p\to q)\wedge ((q\to r)\wedge (\neg(p\to r)))$
\end{enumerate}
\end{Probl}




\end{document}
