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Modelos matemáticos en biología: un viaje de ida y vuelta
R. Álvarez-Nodarse
Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Sevilla
ran@us.es    http://euler.us.es/~renato/



El objetivo de este trabajo es mostrar la provechosa interacción entre
la Biología y la Matemática.  Para ellos mostraremos cómo, por una
parte, la Matemática es una herramienta sumamente interesante para
entender distintos fenómenos biológicos como la dinámica del ADN, el
crecimiento de tumores, dinámica de poblaciones, etc., y estos, a su
vez, son una fuente de problemas matemáticos difíciles.  modelos
matemáticos en biología, dinámica de poblaciones, modelos matemáticos
del ADN, modelos de crecimiento de tumores




Introducción

El objetivo de este breve trabajo es mostrar la provechosa interacción
entre las matemáticas y las ciencias biológicas, ese camino de ida y
vuelta: ida pues las matemáticas pueden ayudarnos a entender (e
intentar predecir) muchos fenómenos biológicos, y vuelta, pues
recorriendo ese camino los matemáticos tienen una inagotable fuente de
problemas difíciles --a ese respecto véase el magnífico artículo
c???--.  No en balde muchos científicos afirman que si bien el siglo
XX fue el siglo de la Física, este siglo, el XXI, será el de la
Biología.  El trabajo está dividido en cuatro apartados.  En el
primero describiremos algunos modelos de poblaciones.  En el segundo
apartado daremos una breve introducción a la biología celular y
molecular necesarios para entender mejor los modelos discutidos en los
apartados ??? y ???.




Modelos de poblaciones

Los primeros modelos matemáticos aplicados en Biología han sido quizá
los modelos que intentan describir la dinámica de poblaciones.  Vamos
a discutir aquí brevemente algunos de ellos.  Para más detalles ver
c???.  Por simplicidad vamos a centrarnos en modelos para una única
especie.


El modelo de Fibonacci

Quizá el modelo más antiguo de crecimiento de poblaciones es el modelo
que Leonardo de Pisa (o Fibonacci, como se le conoce desde el siglo
XVIII) utilizó para describir el crecimiento de una población de
conejos y que describió en su famoso libro sobre la Aritmética, Liber
abaci, de 1202.  El problema es el siguiente: Partiendo de una pareja
de conejos (macho y hembra) ¿cuántas parejas habrá al principio de
cada temporada?, es decir, ¿qué cantidad hay después de n
temporadas?

Para resolverlo Fibonacci supuso ciertas
reglas:

Comenzamos con una única pareja de conejos (macho y hembra).
 Cada pareja de conejos (macho y hembra) madura (pueden reproducirse)
pasado cierto tiempo T (una temporada de crianza).
 
Cada pareja madura de conejos produce una única nueva pareja de conejos
(macho y hembra) cada temporada de crianza (o sea pasado el tiempo T).
 Los conejos son inmortales.

conejos2.PDF

Los conejos de Fibonacci. En cada fila se representan las parejas de conejos
por temporada. Las parejas maduras son las de color negro.


Si denotamos por N_t el número de parejas (macho y hembra) de conejos al
principio de cada temporada y por t la correspondiente temporada, entonces la
población de conejos se describe por la ecuación en diferencias (recurrencia)

++Formula++

Si empezamos por t=1 con las condiciones iniciales N_0=N_1=1, la fórmula anterior nos
genera  la famosa sucesión de
Fibonacci:


1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,


La solución general de dicha ecuación es muy sencilla pues es una ecuación en
diferencias lineal y homogénea. Si buscamos la solución en forma
++formula++, sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos

++Formula++

así, puesto que es una ecuación lineal de orden dos, su solución general es

++Formula++

que usando las condiciones iniciales N_0=N_1=1 nos da:

++Formula++

Nótese que si t es suficientemente grande
++formula++.
Un hecho curioso es que ++formula++, que es
la famosa razón áurea.

No vamos a detenernos aquí en el análisis de cuán real
es el modelo de Fibonacci (especialmente si tenemos
en cuenta la regla 4) y vamos a ver otros modelos
más realistas.

El modelo malthusiano o exponencial

Imaginemos que tenemos una población de cierta especie
(consideraremos que tenemos un número bastante alto
de individuos) y sea p(t) el número de individuos
de dicha especie en el momento t (evidentemente
++formula++). Supongamos que la población está aislada (o sea, no hay
emigración ni inmigración).  Sea r(t,p) la diferencia entre
la razón de natalidad y mortalidad de la población. Entonces la
variación p(t+h)-p(t) es proporcional a p(t) h siendo el
coeficiente de proporcionalidad r(t,p). Luego

++Formula++

de donde, tomando límites cuando ++formula++ queda

++Formula++

La ecuación más sencilla posible se obtiene si consideramos
r(t,p)=r, constante.  Así, la población de individuos de la especie
puede ser modelizada mediante el problema de valores iniciales (PVI)

++Formula++

cuya solución ++formula++. El modelo anterior
se conoce como modelo de Malthus o modelo malthusiano
pues fue propuesto por el economista inglés
Thomas R. Malthus (1766--1834). Si r<0, la especie
está condenada a la extinción y, si r>0, ésta crece en
proporción geométrica.


Veamos un ejemplo. Según estimaciones del Departamento
de Comercio de los EEUU, la Tierra estaba habitada en 1965
por 3.34  10^9 personas. Según estudios realizados durante
varios años, se cree que el índice de crecimiento es
de un 2% anual, o sea r=0.02. Entonces la evolución de
la población mundial es

++Formula++

Por ejemplo, la ecuación nos predice para el
año 1989 la cantidad 5.39  10^9 que se acerca bastante
a la estimada de 5.18  10^9, y para el año 2004
de 7.29  10^9 (la cifra ``real'' es 6.45  10^9). Además,
la fórmula anterior nos dice que la población se
duplica cada

++Formula++

¿Es realista este modelo?  Para responder a esta pregunta vamos a ver
qué ocurre en el año 2515, por ejemplo.  Usando la fórmula ???
tenemos ++formula++, que es un número bastante grande.  Veamos cómo estará
repartida.  La superficie de la tierra es de aproximadamente ++formula++,
así que la densidad de población será de un habitante por cada
++formula++, o sea un cuadrado de menos de 65cm de lado, y eso sin contar
que el 80% de la superficie terrestre es agua, que nos
da apenas un cuadrado de 28cm de lado. ¿Qué ocurrirá
en el 2550? ***


El modelo discreto correspondiente es
p(t+h)-p(t)=r p(t), que reescribimos convenientemente en la forma

++Formula++

Este modelo es, por tanto, muy similar al modelo continuo que hemos
discutido antes.



***Malthus, en su ensayo de 1798 ``Acerca de los fundamentos de la
población'', abusando de su ecuación, predijo un colapso
socioeconómico pues proclamó que la capacidad procreadora de los
humanos es tan grande que siempre nacen más niños que los que pueden
sobrevivir, lo cual se agrava por el hecho de que la cantidad de
alimentos no crece exponencialmente (Malthus creía que dicho
crecimiento era aritmético).  Así Malthus concluyó que un gran número
de humanos está predestinado a sucumbir en la lucha por la existencia.
Aunque hoy día no se consideran ciertas las teorías malthusianas, en
su momento tuvieron gran influencia; de hecho fue la lectura del
ensayo de Malthus lo que inspiró a Darwin el mecanismo de selección
natural universalmente aceptado hoy día.



El modelo logístico


Aunque hemos visto que el modelo funciona razonablemente bien para
poblaciones grandes, hay que hacer varias correcciones pues si p(t)
empieza a crecer demasiado habrá muchos otros factores como la falta
de espacio o de alimentos que frenará el crecimiento.  Así pues,
varios años después, en 1837, un matemático y biólogo holandés, P. F.
Verhulst, propuso un modelo algo más realista conocido como el modelo
logístico (lo publicó 10 años más tarde).  Verhulst razonó que, como
estadísticamente el encuentro de dos individuos es proporcional a p^2
(¿por qué?)  entonces al término r p de la ecuación ??? habría que
sustraerle el término cp^2.  Así, que el PVI que modeliza el
crecimiento de la población será

++Formula++

En general c ha de ser mucho más pequeño que r ya que si r no es muy
grande la ecuación ????  es una aproximación bastante buena, pero si p
comienza a crecer demasiado entonces el término -c p^2 no se puede
obviar y termina frenando el crecimiento exponencial.  Usualmente c se
escribe como el cociente r/K donde K es la capacidad de carga que está
ligada a los recursos del hábitat.

La EDO ????  es una ecuación separable luego


++Formula++

p/r-cp)=C e^rt y, por tanto, la solución del PVI ???? es


++Formula++

Nótese que ++formula++ independientemente del valor inicial p_0.  En el
caso 0<p_0<r/c, la evolución de la población está representada en la
gráfica ???.  Un ejercicio sencillo resulta comprobar que p=0 es un
punto de equilibrio inestable de ???, mientras que p(t)=K es estable.
También varía la forma de la curva si p_0>K o p_0<K; además, en este
último caso hay que discernir dos posibilidades ++formula++ y 0<p_0<K/2

POBLA.PDF
Evolución de la población según el
modelo logístico ??? cuando p_0<r/c


Este modelo se ha comprobado con varias especies y ha dado muy buenos
resultados.  En particular, el hecho de que la población se estabilice
ha sido comprobado en distintos experimentos con paramecios,
obteniéndose una gran concordancia entre los resultados teóricos y
experimentales.

Vamos a aplicar el modelo logístico a la población mundial.  Según los
ecologistas, el valor ``natural'' de r es de 0.029, así que si tomamos
los datos de 1965 tenemos que p'/p=r-cp y, como hemos dicho antes, el
incremento anual en 1965 era ++formula++, luego 0.02=0.029-c(3.34 10^9) y
por tanto c=2.695 10^-12.  Entonces el modelo logístico predice que la
población mundial se estabilizará en torno a la cantidad ++formula++, lo
cual ocurrirá según la ley malthusiana en el 2024.


Obviamente este modelo sigue siendo muy simple ya que no tiene en
cuenta ni las guerras (habituales desde hace cientos de años) ni las
epidemias.

Un ejercicio interesante es aplicar el modelo logístico en España.  Si
usamos los datos de los censos de 1940 a 1990 nos da que r=0.008.  Si
tomamos p(1940)=2.62 10^7 podemos encontrar el número de habitantes en
1998 y compararlo con el número censado p=3.98 10^7 personas.  ¿Cuál
será la población en España en el 2500 si sigue la misma tendencia?
Como ejercicio al lector, proponemos que haga una estimación del
número de habitantes que han de estabilizarse en España (suponiendo
que la razón real representa el mismo porcentaje que en el caso de la
población mundial y que no haya emigración ni inmigración).

El modelo logístico tiene una versión discreta muy interesante determinada por
la ecuación (la hemos escrito convenientemente)

++Formula++

y donde se asume que +formula+.  Este modelo, aparentemente
sencillo, esconde bifurcaciones y caos c???.  En la figura ???
podemos apreciar varias soluciones de la ecuación ??? para diferentes
valores de r.  Para r=2 vemos que la solución tiende muy
rápidamente al valor +formula+.  Al aumentar r la solución comienza a
oscilar, primero entre dos valores, cuatro, etc, hasta convertirse en
caótica para +formula+.


dis-pob-mod-p2.PDF
dis-pob-mod-p301.PDF
dis-pob-mod-p346.PDF
dis-pob-mod-p356PDF
dis-pob-mod-p36.PDF
dis-pob-mod-p39.PDF

Caos en el modelo logístico discreto ???


Breve introducción a la biología celular y molecular

Antes de pasar a discutir algunos modelos matemáticos para describir
la dinámica interna del ADN y el crecimiento y control tumoral, debemos hacer
una breve incursión por la  biología celular y molecular.


La célula

Célula [DRAE] (Del lat.  cellula, dim.  de cella, hueco).  f. Biol.
Unidad fundamental de los organismos vivos, generalmente de tamaño
microscópico, capaz de reproducción independiente y formada por un
citoplasma y un núcleo rodeados por una membrana.

Célula [Alberts et al. c???].  Es el vehículo a través del
cual se transmite la información  hereditaria que define cada
especie y que además contiene la
maquinaria necesaria para obtener materiales del 
ambiente y generar una nueva célula a su imagen,
que contendrá una nueva copia de la información hereditaria.


hooke-cork-corcho.PDF
Las células del corcho. Foto del texto Micrografía
de R. Hooke.

Todos los organismos vivos están compuestos por células. De hecho son estas
estructuras los ladrillos sobre los cuales se construyen todos los organismos vivos
que conocemos en la naturaleza, ya sean uni o pluricelulares. Por tanto es evidente
esperar que el estudio de sus componentes químicos y la interacción entre los mismos
pueda arrojar alguna luz sobre su funcionamiento.

El primero en observar (descubrir) las células (aunque muertas) fue
Robert Hooke, quien observó con un microscopio un delgado corte de
corcho.  Hooke notó que el material era poroso.  Esos poros, en su
conjunto, formaban cavidades poco profundas a modo de cajas a las que
llamó células (del latín ``cella'': cámara, espacio vacío).  Sus
observaciones las publica en 1665 en el libro Micrografía.  Unos años
más tarde, Marcelo Malpighi, anatomista y biólogo italiano, observó
células vivas.  Pasarían todavía mas de 100 años hasta que en 1838, y
gracias al perfeccionamiento de los microscopios, el biólogo Mathias
Jakob Schleiden y el médico Theodor Schwann sentaran las bases de la
moderna teoría celular que establece que todos los organismos vivos
están constituidos por células.


Esencialmente existen dos tipos fundamentales de células: las
procariotas y las eucariotas.  Las primeras son mucho más simples y
carecen de un núcleo definido y su organización interna es muy
sencilla, mientras que las segundas poseen una estructura interna más
complicada y poseen un núcleo bien definido y limitado por una
membrana.

clases-celPDF 
celula-fot.PDF
celula_pro.PDF
Clasificación de las células: procariotas (abajo) y
eucariotas (arriba). Esquema (izquierda) y foto (derecha).

Debido a que las células viven en un medio acuoso y están constituidas
casi en su totalidad de agua, es preciso que haya una frontera bien
definida que limite a la célula: la membrana plasmática (constituida
por lípidos) dentro de la cual se encuentra el citosol --fase acuosa
sin estructura del citoplasma. 

Las procariotas tienen su ADN condensado en la región central y poseen
varios ribosomas --partículas sintetizadoras de las proteínas en la
célula--.  Las eucariotas son mucho más complejas ya que contienen un
sinnúmero de organelas: el núcleo, las mitocondrias --donde ocurre
casi todo el metabolismo energético--, aparato de Golgi, los
lisosomas --degradan los componentes celulares desgastados y los
innecesarios--, etc.

Todas las células guardan la información de la misma forma:
codificada en forma de moléculas
de ADN. Es por ello que nuestra atención se centrará
el estudio de dichas moléculas.

Estructura del ADN

En este apartado vamos a describir brevemente qué es el ADN y qué lo
hace tan especial.  Una información más completa se puede encontrar
en c???.

adn-estr.PDF

Estructura del ADN.

La molécula de ADN (ácido desoxirribonucleico) está formada por (ver
figura ?????)  dos cadenas de nucleótidos o monómeros compuestos por
un azúcar (la desoxirribosa) unida a un grupo fosfato PO_4 que
conforman el denominado esqueleto de azúcar-fosfato.  A este
esqueleto van unidas las bases que pueden ser la adenina (A), la
citosina (C), la guanina (G) o la timina (T).  Cada azúcar de la
cadena está unida a la siguiente mediante el grupo fosfato y de ella
sobresale la base.

La molécula de ADN no existe como una cadena libre sino que se junta
con otra cadena de ADN formando una de doble hélice tridimensional con
las bases colocadas hacia el interior (ver figura ??????).
Formalmente cada cadena simple puede estar constituida por una
secuencia aleatoria de bases.  No obstante, en la célula no hay
semejantes cadenas simples y el ADN no se sintetiza como una cadena
libre aleatoria, sino que lo hace a partir de la cadena original que
es usada como molde o patrón.  La razón fundamental se debe a que,
debido a la estructura química de las bases, sólo se juntan las bases
A con las T (mediante un enlace doble de puente de hidrógeno), y las G
con las C (enlace triple).

Así pues, la doble cadena original se separa en dos cadenas simples a
partir de las cuales se sintetizan dos nuevas cadenas dobles.  Además,
el procedimiento es muy sencillo: las bases de la nueva cadena (cadena
complementaria) se van uniendo a las bases de la cadena patrón
siguiendo el esquema preestablecido: A-T y C-G.

replication-dna.PDF
Autorreplicación del ADN. 


RNA_struc.PDF
Estructura del ARN.

Aquí hay que destacar un punto de vital importancia: Resulta que los
enlaces entre las bases (puentes de hidrógeno) son mucho mas débiles
que los enlaces azúcar-PO_4.  Esto precisamente permite que se rompa
la doble cadena y queden las dos cadenas simples.  Además, por la
forma de unirse las bases es evidente que ambas cadenas no son
independientes sino complementarias (ver la figura
?????), de forma que al final quedan dos cadenas de
ADN idénticas a la cadena original.  El proceso anterior se conoce
como la replicación del ADN y justifica el porqué la base de la vida
--tal y como la conocemos hoy día-- radica precisamente en el ADN.



Aparte de autorreplicarse, el ADN debe expresar la información que
contiene utilizándola para dirigir la síntesis de otras moléculas de la célula.
Este proceso es bastante complejo pero se puede resumir en dos fases:


1.  La transcripción: El ADN sintetiza una molécula de ARN
(ácido ribonucleico) muy similar en estructura al propio ADN
(ver figura ????), pero más corta, constituida por
otro azúcar (ribosa) y cuatro bases, A, C, G, y U (uracilo) reemplazando, este
último, a la timina~T.

2. La traducción: El ARN se utiliza para sintetizar
proteínas.


El proceso físico de la transcripción es bastante complicado ya que se requiere
la interacción de distintos agentes químicos (moléculas) que pueden variar de célula
a célula, pero su esencia es la misma. Nosotros nos limitaremos a describir brevemente
el cómo ocurre traducción.

Las proteínas

Las proteínas son otras moléculas esenciales para la vida.  Están
constituidas por una larga cadena de nucleótidos, distintos de los del
ADN y el ARN, denominados aminoácidos.  Todos estos aminoácidos (hay
20 tipos distintos) tienen una estructura central por la que pueden
juntarse unos con otros (estructura primaria).  Unida a dicha
estructura central, el aminoácido tiene una estructura lateral
(secundaria), que es la que les confiere las características químicas
propias (alpha-hélices y beta-láminas).

proteinas-est.PDF

Estructuras primaria, secundaria (alpha-hélice), terciaria y cuaternaria
de una proteína.



Además, las proteínas se pliegan sobre sí mismas en una estructura
tridimensional compacta (estructura terciaria) que en su superficie
tiene varios grupos reactivos.  Son estos grupos los que precisamente
se juntan a otras moléculas y actúan como enzimas catalizando las
reacciones químicas en las que se rompen o se crean enlaces
covalentes ~--enlaces formados cuando varios átomos comparten
electrones~--.  Finalmente, varias proteínas se pueden juntar
(estructura cuaternaria) formando moléculas compactas (ver
figura~????).

centraldogma.eps
El dogma central de la biología molecular.

De esta forma las proteínas dirigen casi todos los procesos químicos
de la célula, en particular la propia síntesis del ADN, la del ARN y
la de ellas mismas, es decir tenemos un esquema de retroalimentación.
En ello se basa el dogma central de la biología (ver figura ????)  que
consiste en la creencia de que el ADN se transcribe en ARN y éste se
traduce en proteínas, encargadas de la mayoría de las funciones
biológicas, pero no a la inversa.



¿Cómo se traduce el ARN en proteínas?

codon.PDF
Los  codones del mARN

El proceso de traducción del alfabeto de 4 letras del ADN al de 20 de las
proteínas es sumamente complicado por lo que sólo daremos un breve bosquejo
del mismo.


Lo primero que hace el ADN es transcribir una parte de él en una cadena simple
de ARN denominado ARN mensajero o mARN que contiene la información
de la proteína a sintetizar. La información contenida en el mARN se lee en
grupos de tres nucleótidos: el triplete o codón. Cada
codón codifica un aminoácido. Como tenemos +formula+ posibles
codones y sólo 20 aminoácidos, tendremos varios codones distintos que codifican
al mismo aminoácido.


El segundo paso es cuando al mARN se le une un ARN muy corto conocido como
ARN de transferencia o tARN. La estructura del tARN es tal que
en un extremo (físico) tiene un aminoácido, y, en el otro, un anticodón,
de forma que el codón del mARN se junta con el anticodón del tARN  y se va
formando la secuencia de proteínas. En la figura ????
se muestra un esquema del proceso.

sintesis-pro.PDF
Síntesis de proteínas: el mARN y el tARN

Resumiendo, una molécula de ADN contiene la codificación de miles de
proteínas. Esta información se traslada a un mARN que es quien codifica
la proteína al juntarse de una única forma con los tARN en cuyos extremos
viajan los nucleótidos (aminoácidos) de la correspondiente proteína.



Modelos matemáticos de la dinámica interna  del ADN

De la discusión anterior es fácil adivinar que modelos realistas
que describan la dinámica interna del ADN y permitan entender
los procesos de transcripción, etc. son prácticamente inviables.
Por ejemplo, un modelo cuántico realista debería incluir las
interacciones de miles de millones de partículas (los átomos),
con el agravante de que no está claro el potencial de interacción
para describir los enlaces por puentes de hidrógeno, por citar alguna de las
muchas interacciones internas. Es por ello que vamos a considerar
algunos modelos sencillos y los problemas matemáticos que surgen
a partir de ellos. La referencia básica para este apartado es
c???.


Antes de comenzar debemos recordar que la molécula de ADN está
formada por dos cadenas de átomos muy largas enrolladas una sobre
la otra en forma de doble hélice. La estructura de las cadenas es
bastante regular y contiene 4 bases repetidas con gran precisión.
Esta estructura es muy similar a la de los casi-cristales unidimensionales
c???, pero, a diferencia de éstos, el ADN es
bastante flexible.

Modelos lineales

Una única cadena
Supongamos que tenemos una cadena única de ADN (o ARN). Un modelo
sencillo consiste en cambiar las bases por discos (cilindros) y suponer que la
interacción de las mismas es una interacción armónica. Consideraremos
únicamente los movimientos longitudinales y rotacionales de los discos.




mod-cad.PDF
Modelo lineal de una cadena: movimientos longitudinal y angular.


Sea u_n(t) el desplazamiento longitudinal del n-ésimo disco de su
posición de equilibrio en el instante de tiempo t y sea p_n(t) el
correspondiente desplazamiento angular (ver figura ????).
Por simplicidad asumiremos que tanto las masas (y los momentos de
inercia, respectivamente) como las constantes elásticas y de torsión
son las mismas (cadena homogénea).  Entonces, si suponemos que las
amplitudes de oscilación internas no son muy grandes, podemos escribir
el Hamiltoniano del sistema en la aproximación armónica, es decir, en
la forma*** 

++Formula++

donde

++Formula++

siendo N el número total de monómeros de la cadena,
m la masa del disco, I su momento de inercia, k la constante elástica,
k la constante de torsión, y donde H_l-r representa
el Hamiltoniano de la interacción entre ambos
movimientos. Usualmente se imponen condiciones de frontera periódicas

++Formula++

En primera aproximación se puede suponer que  H_l-r es constante.

Bajo estas condiciones, las ecuaciones de movimiento son

++Formula++

El sistema anterior es un sistema lineal de ecuaciones diferenciales
desacopladas (independientes).
Las soluciones típicas del sistema anterior son las ondas viajeras planas

++Formula++

donde q es el número de onda y a es la distancia entre dos discos
cualesquiera (que suponemos constante a lo largo de la cadena).
Sustituyendo ????? en ???? obtenemos las relaciones
de dispersión para las frecuencias longitudinales y rotacionales

++Formula++


Veamos el límite continuo de las ecuaciones anteriores, es decir pasemos del modelo
discreto de discos a un modelo continuo tipo cuerda elástica. Comenzaremos
reescribiendo la primera de las ecuaciones ???? en la forma

++Formula++

Tomemos +formula+ y denotemos por rho la densidad de masa por unidad
de longitud; entonces, teniendo en cuenta que

++Formula++

tenemos

++Formula++

luego obtenemos la ecuación de ondas

++Formula++

cuya solución es +formula+, que sustituida en la ecuación
anterior nos da

++Formula++


Para la segunda ecuación obtenemos, de forma análoga,

+Formula+

cuya solución es

+Formula+

siendo iota la densidad lineal del momento de inercia y
+formula+. En ambos casos el número de onda se encuentra
en el intervalo [-pi/a,pi/a].

De lo anterior se deduce que a través de la cadena se desplaza una
onda viajera cuyas velocidades longitudinal y rotacional son

+Formula+

respectivamente.

El modelo anterior tiene una clara deficiencia: No tiene en cuenta el movimiento
perpendicular al eje z (ver figura????).

mod-cad-1.PDF
Modelo lineal de una cadena: movimientos longitudinal, angular y transversal.

Si tenemos en cuenta este movimiento se puede probar que
el desplazamiento perpendicular al eje z, que denotaremos por y, satisface la ecuación

+Formula+

donde S es el área de la base del cilindro.  Como ejercicio dejamos
al lector que deduzca la expresión de la relación de dispersión y la
velocidad de onda de las correspondientes ondas transversales.

Otra importante deficiencia del modelo es que la energía no está
localizada ya que la solución onda plana corresponde a una energía
uniformemente distribuida a lo largo del medio (en este caso la cadena
de ADN).  Por tanto, si pretendemos que el modelo explique el fenómeno
de la transcripción, por ejemplo, es esencial que no ocurra lo
anterior, es decir, la onda viajera ha de estar muy localizada de
forma que la energía se localice en unos pocos pares de bases.  A lo
anterior hay que agregarle otra importante deficiencia y es que, para
romper la doble cadena, se necesita además que la amplitud de la onda
sea lo suficientemente grande, lo cual está en abierta contradicción
con la suposición inicial de que podemos aproximar las interacciones
mediante términos armónicos.  Estas deficiencias se resuelven
parcialmente en los modelos no lineales que discutiremos
posteriormente.


*** En adelante, por +formula+ denotaremos la derivada con respecto
al tiempo de f.

Una cadena doble

Supongamos que tenemos una doble cadena de ADN. Un modelo
sencillo consiste nuevamente en cambiar las bases por discos y suponer que tanto la
interacción entre los nucleótidos como la de las bases de ambas cadenas
es una interacción armónica. Consideraremos los movimientos longitudinales
u, transversales y y rotacionales p de los discos.

cad-adn.PDF 
mod-dos-cad-1.PDF

Modelo lineal de una doble cadena.

En este caso, el Hamiltoniano se escribe como

+Formula+

donde H_l^(j), H_t^(j) y H_r^(j), j=1,2, representan los
movimientos longitudinales, transversales y rotacionales de cada una de las
dos cadenas, respectivamente, y H^(1-2) es la interacción entre ambas.

Para los dos primeros Hamiltonianos tenemos una expresión análoga a
????, de forma que

+Formula+

La interacción entre cadenas pueden modelarse, en primera aproximación, mediante los términos

+Formula+

donde alpha, beta y gamma son ciertas constantes.
Así, obtenemos un sistema de seis ecuaciones acopladas dos a dos:


+Formula+


Nuevamente buscamos las soluciones del tipo onda plana.  Aquí nos
restringiremos a la primera de las ecuaciones acopladas de
????,

+Formula+

Sustituyéndolas en ???? obtenemos las relaciones de dispersión

+Formula+

Si, como en el caso anterior, tomamos el límite cuando +formula+ (límite continuo)
obtenemos las ecuaciones

+Formula+

Sus soluciones tipo onda plana son

+Formula+

que nos conducen a las relaciones de dispersión:

+Formula+


Para las otras dos ecuaciones los cálculos son similares y los omitiremos
(se dejan como ejercicio al lector).

Limitaciones.

Esta claro que estos son los modelos más simples y por tanto tienen un
sinnúmero de limitaciones.  Esencialmente hemos considerado en la
cadena de ADN los nucleótidos como una única partícula, cuando en
realidad son mucho más complicados ya que constan de un azúcar, un
grupo fosfato y una base heterocíclica de carbono (5-carbono).  Por lo
tanto, un modelo más realista debería tener en cuenta esta estructura.
En la figura ??? se muestra un modelo donde se separa el
esqueleto de carbón-fosfato (rectángulo), el azúcar (círculo
intermedio --claro--) y la base (círculo exterior --oscuro--).
Mediante líneas continuas se representan las interacciones internas de
cada cadena y por la discontinua la interacción entre cadenas por
puente de hidrógeno.  Además, como ya mencionamos; la energía no está
localizada, por lo que no es posible utilizar modelos lineales para
dar una explicación del proceso de trascripción, por citar un ejemplo.


mod-ter.PDF

Modelo lineal de una doble cadena: segunda aproximación.

Denotemos, como antes, los movimientos longitudinales, transversales y
rotacionales de las bases por u, y y p, respectivamente; y denotemos
por v los transversales entre el azúcar y el grupo fosfato.
Suponiendo que podemos usar la aproximación armónica podemos escribir
el Hamiltoniano de la forma

+Formula+

donde los términos son similares a los de antes pero ahora H_fa^(j)
representa la nueva interacción fosfato-azúcar.  Como ejercicio se
deja al lector encontrar las ecuaciones de movimiento en este caso,
así como las relaciones de dispersión.  El modelo más exacto
corresponde a la estructura atómica real de ADN (ver figura ????).

DNA-estructura.PDF

Modelo lineal más exacto de una doble cadena de ADN.

En todos estos casos también hay que tener en cuenta que el
Hamiltoniano se está considerando en su aproximación armónica, es
decir cuando las oscilaciones de las correspondientes partículas son
suficientemente pequeñas.  Nuevamente esto constituye una limitación
para explicar la apertura o rotura de la doble cadena de ADN. Si estas
amplitudes no son pequeñas, entonces entran a jugar un papel
fundamental los efectos anarmónicos (o no lineales).  Este tipo de
modelos no lineales son de enorme interés como veremos en la próxima
sección.  Finalmente, debemos mencionar que los Hamiltonianos de
interacción aquí supuestos no corresponden a los reales, los cuales
son desconocidos.



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