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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center}
\Large	Laboratorio de Matemáticas\\
\normalsize \today
\end{center}

\section*{Problema}
Calcula el peso de una mosca. Considera tres posibles 
	formas: 
	\begin{itemize}
		\item Un paralelogramo de longitud $L$, anchura $A$ y altura 
		$H$;
	
	    \item Un elipsoide de longitud $L$, anchura $A$ y altura 
		$H$;
		
		\item Un elipsiode para la cabeza y otro para el torax 
		y abdómen. La longitud total es $L$, la 
		anchura máxima es $A$, y la altura máxima es $H$.
	\end{itemize}
	
	
	Suponemos que las relaciones entre $A$, $L$ y $H$ no cambian.
	Puedes estimar cuáles son y la realción entre tamaños de
	cabeza y resto del cuerpo de las figuras mosca.jpg y mosca2.jpg.
	Calcula con R el peso de la mosca para distintos valores de $L$ y
	dibuja las gráficas correspondientes.  ¿Cómo varía el peso con
	esta dimensión?
	
\section*{Solución}

Por definición $\mbox{Peso} = \mbox{Volumen} \times \mbox{Densidad}$,
o más escuetamente, $P = VD$.  Podemos  estimar el peso de la 
mosca estimando su densidad y volumen.  Todos hemos visto moscas y otros
insectos justo flotando en el aguas de estanques y charcos y podemos
aproximar su densidad a la del agua: 1 g/cc. Estimar el volumen es 
más complicado. Vamos a estudiar tres aproximaciones con moscas 
`ideales' que tienen formas geométricas sencillas.

En los tres casos vamos a despreciar las patas y las alas, ya que
supondremos que son una parte muy pequeña del peso total.  Para el
primer caso vamos a suponer que el cuerpo de la mosca es un prisma
rectangular.  El volumen en cc de nuestra mosca-caja sería
\[
V = L A  H.
\]

Para el segundo caso supondremos un caso más ajustado a la forma real 
de la mosca, y lo consideraremos un elipsoide. El volumen de un 
elipsoide de radios mayores $R_{1}$, $R_{2}$ y $R_{3}$ es
\[
V = \frac{4}{3} \pi R_{1} R_{2} R_{3}.
\]
Teniendo en cuenta que los radios son la mitad de la longitud, 
anchura y altura, es fácil ver que 
\[
V = \frac{\pi}{6}  L A H.
\]

Supongamos para empezar que la anchura es $2/3$ de la longitud y que 
la altura es $\frac{1}{2}$ de la longitud. Definimo dos funciones en 
R, llamadas \emph{VolCaja} y \emph{VolElips} para calcular estos 
volúmenes. El programa en R que nos nos calcula y dibuja los 
volúmenes de las moscas para longitudes entre 3 y 10 mm a 
intervalos de 0.5 mm es:
\begin{verbatim}
     L <- seq(3,10,0.5)
     Pa <- 2/3
     Ph <- 1/2
     A <- L * Pa
     H <- L * Ph
     VolCaja <- function(l,a,h)
                 {l*a*h}
     VolElips <- function(l,a,h)
                 {(4/24)*pi*l*a*h}
     VC <- VolCaja(L,A,H)
     VE <- VolElips(L,A,H)
     plot(L,VC)
     plot(L,VE)
     Vols <- data.frame(VE,VC)
     matplot(Vols)
     plot(L,VC,col= "red")
     points(L,VE,col= "blue")
\end{verbatim}

El gráfico resultante es:
\begin{center}
	\includegraphics[width = 12cm]{MoscaPlot.pdf}
\end{center}

Vemos que en ambos casos el volumen crece rápidamente con la 
longitud. Por ejemplo, una mosca de longitud 5 mm tiene un volumen de 
41.7 mm$^{3}$ segon el model caja mientras que uno que sea el doble 
de largo tiene un volumen de 333.3 mm$^{3}$, es decir 8 veces mayor.

\end{document}
