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\begin{document}
\begin{center}
\Large	Laboratorio de Matemáticas\\
\normalsize 7 de octubre de 2008
\end{center}

Demostrad por reduccción al absurdo los siguientes teoremas
\begin{enumerate}
	\item $\sqrt{2}$ es irracional.\\[2ex]
	 \textbf{Solución} Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional, es 
	 decir que existen enteros $p, q$ tales que \[\sqrt{2} = 
	 \frac{p}{q}.\] Suponemos que esta fracción es irreducible. 
	 Entonces
	 \begin{equation}
		p  =  q \sqrt{2} 
	 \end{equation}
	 y elevando al cuadrado tenemos
	 \begin{equation}
		 \label{eqn:cuadr}
	    p^{2} = 2 q^{2}
	 \end{equation}
	 Vemos que $p^{2}$ es par, y por lo tanto $p$ también lo es. Como 
	 la fracción es irreducible, entonces $q$ ha de ser impar.
	 
	 Como $p$ es par, entonces $p = 2r$ para algún valor entero $r$. 
	 Introduciendo esto en la ecuación \ref{eqn:cuadr} tenemos que 
	 \begin{equation}
	    (2r)^{2} = 4r^{2} = 2 q^{2}
	 \end{equation}
	 y por lo tanto
	 \begin{equation}
	    2r^{2} =  q^{2}.
	 \end{equation}
	 Según esto $q^{2}$ es par y por lo tanto $q$ también lo es. Pero 
	 habíamos establecido que $q$ debía ser impar, con lo que 
	 llegamos a una contradicción. Por lo tanto $\sqrt{2}$ no puede 
	 ser racional. 	\hspace{\fill}$\square$
	 
	 \item No existe un número racional mínimo mayor que cero.\\[2ex]
	 \textbf{Solución} Supongamos que existe un número racional mínimo
	 mayor que cero.  Sea $x \in \mathbb{Q}, x > 0$, tal número.
	 Consideremos ahora $y = x/2$.  Claramente se cumple que $y \in
	 \mathbb{Q}$, que $y > 0$ y que $y < x$, lo cual contradice 
	 nuestra afirmación inicial. Por lo tanto no existe un número 
	 racional mínimo mayor que 0.\hspace{\fill}$\square$
	 
	 \item Sean $m$ y $n$ enteros tales que $n + n^{2} + n^3 = m +
	 m^2$.  Demostrad que $n$ debe ser par.  \\[2ex] \textbf{Solución}
	 Supongamos que $n$ es impar.  Entonces, tanto $n$, como $n^{2}$
	 como $n^{3}$ son impares y la suma de tres números impares es
	 impar.  Por lo tanto $m + m^2$ debe ser impar.  Pero podemos
	 escribir $m + m^2 = m(m+1)$ y este número es forzosamente par 
	 (¿por qué?) Lo cual contradice nuestra suposición inicial.\hspace{\fill}$\square$
	 
	 \item Sean $a$, $b$ y $c$ enteros impares.  Demuestra que no
	 existe ningún número racional $x$ tal que $ax^2 + bx + c = 0$.
	 
	 \item (\textbf{Extra}) Se tiene un tablero de ajedrez  de $8 \times 8$
	 casillas y  piezas de dominó que cubren exactamente dos
	 casillas.  Podemos colocar estas piezas de manera que todo el
	 tablero quede cubierto totalmente, sin que ninguna pieza quede
	 con un trozo fuera del tablero.  ¿Puede cubrirse de la misma 
	 manera todo el tablero
	 excepto dos casillas de dos esquinas opuestas?

\end{enumerate}
\end{document}
